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locally compact Hausdorff空間がBaire空間であることの証明

定義位相空間Xがベール空間であるとは,加算個の開集合族 {  \{ O_n : 1 \leq n \} } で各nに対して { \overline{ O_n } = X } なるものが任意に与えられたとき, { \overline{ \cap \{ O_n : 1 \leq n \} } = X } なるものをいう.

ベール空間は第二類集合です.

補題位相空間Xに対して次の2条件は同値である.

1.Xはコンパクトである.

2.Xの部分集合のなす族が有限交叉性(つまり有限個の集合の共通部分が空でないこと)をみたせば,その族の元となる集合の閉包すべての共通部分は空でない.

証明:1.を仮定する.仮に有限交叉性をもつXの部分集合族 {  \{ F_n : 1 \leq n \} }  { \cap \{ \overline{F_n} : 1 \leq n \} = \phi } なるものがとれたとする. { \cup \{ \overline{F_n}^{C} : 1 \leq n \} = X } となりXがコンパクトであるゆえ { \cup \{ \overline{F_n}^{C} : 1 \leq n \leq N \} = X } なる自然数Nがとれるが,これは {  \{ F_n : 1 \leq n \} } の有限交叉性に反する.よって2.が成り立つ.

2.ならば1.の証明は省略.(終)

補題:局所コンパクトハウスドルフ空間Xは完全正則空間(特に,正則空間)である.

証明の方針だけ述べる.点xとその開近傍Uを任意にとる.仮定より,xの開近傍Vで { K := \overline{V} } がコンパクトなるものがとれる. { W=U \cap V } と置く.コンパクトハウスドルフ空間は正規空間であったから,ウリゾーンの定理より,連続写像 { \displaystyle f:K \to \lbrack 0,1 \rbrack }  { f(x)=1, \ f(K \cap W^{C} )={0} } なるものがとれる.ここで写像 { \displaystyle g:X \to \lbrack 0,1 \rbrack } を,K上ではfと一致し,X-Kでは零の値をとるものと定義すると,これは連続写像であり, { \displaystyle g(x)=1,g(U^{C})={0} } をみたす.よってXは完全正則空間である.(終)

定理:局所コンパクト空間はベール空間である.

証明:加算個の開集合族 {  \{ O_n : 1 \leq n \} } で各nに対して { \overline{ O_n } = X } なるものが与えられたとする.任意に空でない開集合Bをとる. { B \cap O_1 \neq \phi } であるので,空間Xの局所コンパクト性と正則性を使えば,

{ \displaystyle \phi \neq B_1 \subset \overline{B_1} \subset B \cap O_1,\overline{B_1}: }コンパクト

なる開集合 {B_1} がとれる.以後も同じようにして,

 { \phi \neq B_{n+1} \subset \overline{B_{n+1}} \subset B_n \cap O_n , 1 \leq n }

と開集合をとっていく.Xのコンパクト部分空間{ \displaystyle \overline{B_1} }の部分集合族{ \displaystyle \{B_n : 1 \leq n \} }は有限交叉性をもつので,

{ \displaystyle \phi \neq \cap \{ \overline{B_n} : 1 \leq n \} \subset B \cap \bigcap \{ O_n : 1 \leq n \} }

となり, { \overline{ \cap \{ O_n : 1 \leq n \} } = X  } となる.よってXはベール空間である.(証終)