locally compact Hausdorff空間がBaire空間であることの証明

定義：位相空間Ｘがベール空間であるとは，加算個の開集合族 { \{ Ｏ_n : 1 \leq n \} } で各ｎに対して { \overline{ Ｏ_n } = Ｘ } なるものが任意に与えられたとき， { \overline{ \cap \{ Ｏ_n : 1 \leq n \} } = Ｘ } なるものをいう．

ベール空間は第二類集合です．

補題１：位相空間Ｘに対して次の２条件は同値である．

１．Ｘはコンパクトである．

２．Ｘの部分集合のなす族が有限交叉性（つまり有限個の集合の共通部分が空でないこと）をみたせば，その族の元となる集合の閉包すべての共通部分は空でない．

証明：１．を仮定する．仮に有限交叉性をもつＸの部分集合族 { \{ Ｆ_n : 1 \leq n \} } で { \cap \{ \overline{Ｆ_n} : 1 \leq n \} = \phi } なるものがとれたとする． { \cup \{ \overline{Ｆ_n}^{C} : 1 \leq n \} = Ｘ } となりＸがコンパクトであるゆえ { \cup \{ \overline{Ｆ_n}^{C} : 1 \leq n \leq N \} = Ｘ } なる自然数Ｎがとれるが，これは { \{ Ｆ_n : 1 \leq n \} } の有限交叉性に反する．よって２．が成り立つ．

２．ならば１．の証明は省略．（終）

補題２：局所コンパクトハウスドルフ空間Ｘは完全正則空間（特に，正則空間）である．

証明の方針だけ述べる．点ｘとその開近傍Ｕを任意にとる．仮定より，ｘの開近傍Ｖで { Ｋ := \overline{Ｖ} } がコンパクトなるものがとれる． { Ｗ＝Ｕ \cap Ｖ } と置く．コンパクトハウスドルフ空間は正規空間であったから，ウリゾーンの定理より，連続写像 { \displaystyle ｆ：Ｋ \to \lbrack 0,1 \rbrack } で { f(x)=1, \ f(Ｋ \cap Ｗ^{Ｃ} )={0} } なるものがとれる．ここで写像 { \displaystyle ｇ：Ｘ \to \lbrack 0,1 \rbrack } を，Ｋ上ではｆと一致し，Ｘ－Ｋでは零の値をとるものと定義すると，これは連続写像であり， { \displaystyle g(x)=1,g(Ｕ^{Ｃ})={0} } をみたす．よってＸは完全正則空間である．（終）

定理：局所コンパクト空間はベール空間である．

証明：加算個の開集合族 { \{ Ｏ_n : 1 \leq n \} } で各ｎに対して { \overline{ Ｏ_n } = Ｘ } なるものが与えられたとする．任意に空でない開集合Ｂをとる． { Ｂ \cap Ｏ_1 \neq \phi } であるので，空間Ｘの局所コンパクト性と正則性を使えば，

{ \displaystyle \phi \neq Ｂ_1 \subset \overline{Ｂ_1} \subset Ｂ \cap Ｏ_1，\overline{Ｂ_1}： }コンパクト

なる開集合 {Ｂ_1} がとれる．以後も同じようにして，

{ \phi \neq Ｂ_{n+1} \subset \overline{Ｂ_{n+1}} \subset Ｂ_n \cap Ｏ_n ， 1 \leq n }

と開集合をとっていく．Ｘのコンパクト部分空間{ \displaystyle \overline{Ｂ_1} }の部分集合族{ \displaystyle \{Ｂ_n ： 1 \leq n \} }は有限交叉性をもつので，

{ \displaystyle \phi \neq \cap \{ \overline{Ｂ_n} ： 1 \leq n \} \subset Ｂ \cap \bigcap \{ Ｏ_n ： 1 \leq n \} }

となり， { \overline{ \cap \{ Ｏ_n : 1 \leq n \} } = Ｘ } となる．よってＸはベール空間である．（証終）