任意の位相群は完全正則空間であることの証明

今日は任意の位相群が完全正則(completely regular)空間であることを証明します．

定義：位相空間Ｘが完全正則であるとは，閉集合Ｆとそれに元として含まれない{ \displaystyle x \in Ｘ}が任意に与えられたときに，連続写像{ \displaystyle f:Ｘ \to \lbrack 0,1 \rbrack }が存在して，

{ \displaystyle f(x) = 0，f(Ｆ) = \{ 1 \} }

なることをいう．

ちなみに完全正則だからといって正規とは限らなくて，そういう空間の一つにMoore planeというのがあるそうです(初めて知った顔)．

定理：位相群Ｇは完全正則である．

証明：閉集合{ \displaystyle Ｆ(e \notin Ｆ) }が任意に与えられたとする．

単位元eの近傍の列{ \displaystyle \{Ｖ_n : 1 \leq n \} }を，

{ \displaystyle Ｖ_1 \subset Ｆ^{Ｃ}，Ｖ_{n+1}Ｖ_{n+1} \subset Ｖ_n }

なるように取る．

{ \displaystyle Ｑ := \{ r = a_1/2 + ... + a_k/2^k : 1 \leq k，a_i = 0,1 \} }

と置けば，Ｑは区間(0,1)で稠密である．

ここで各{ \displaystyle r = a_1/2 + ... + a_k/2^k \in Ｑ }に対して

{ \displaystyle Ｕ_r := Ｖ_1^{a_1}Ｖ_2^{a_2}...Ｖ_k^{a_k}，( Ｖ_i^{0}:={e}，Ｖ_i^{1}:= Ｖ_i ) }

と置く．{ \displaystyle s，t \in Ｑ，s ＜ t }が，

{ \displaystyle s = a_1/2 + ... + a_k/2^k }

{ \displaystyle t = b_1/2 + ... + b_l/2^l }

と表されたとする．ちょっと考えると{ \displaystyle Ｕ_s Ｖ_k \subset Ｕ_t }となる．ここで前回の記事 T0な位相群はHausdorff空間であることの証明 - Lullaby Of Meowlandにある補題より， { \displaystyle \overline{Ｕ_s} \subset Ｕ_s Ｖ_k \subset Ｕ_t }となる(☆)．

写像{ \displaystyle f:Ｘ \to \lbrack 0,1 \rbrack }を，

{ \displaystyle f(x) = inf \{ r \in Ｑ : x \in Ｕ_r \} \ （ \exists r \in Ｑ，x \in Ｕ_r ），f(x)=1 (else \ if) }

と定義する．

{ \displaystyle x \in Ｇ，0 ＜ f(x) ＜ 1 }であれば充分に小さい任意のε＞0に対して，

{ \displaystyle 0 ＜ f(x)- \epsilon ＜ r_1 ＜ f(x) ＜ r_2 ＜ f(x)+ \epsilon ＜ 1 }

となる{ \displaystyle r_1，r_2 \in Ｑ}が存在する．

ここで，☆とＱの(0,1)における稠密性とを使うと，{\displaystyle x \in Ｕ_{r_1} \cap \overline{ Ｕ_{r_2} }^{Ｃ} }が分かる．

{\displaystyle f( Ｕ_{r_1} \cap \overline{ Ｕ_{r_2} }^{Ｃ} ) \subset f(Ｕ_{r_1}) \cap f(\overline{ Ｕ_{r_2} }^{Ｃ}) \subset \lbrack 0,r_1 \rbrack \cap \lbrack r_2,1 \rbrack \subset ( f(x) - \epsilon , f(x)+ \epsilon ) }

となり，xにおいてfが連続であるとわかった．f(x)=0なるxやf(x)=1なるxにおいてもfが連続であることは，似たような議論で示せる．

よってfは諸々の条件をみたすことがわかった．任意の{ \displaystyle x \in Ｇ }に対して{ \displaystyle Ｇ \to Ｇ；a \mapsto x^{-1} a }は同相写像であった．よって位相群Ｇは完全正則である．(証明終)

間違っていたら教えて下さい．