T0な位相群はHausdorff空間であることの証明
が連続になるようなもののことです.
今日は位相群がT0であればHausdorff空間になることを示します.
補題:位相群Gの任意の部分集合Aと単位元eの任意の開近傍Uに対し となる.
証明:Uをなどと置きなおすことによって,Uが対称()であると仮定することができる.なるeの対称近傍Vをとる.
もしであればそこから元zが取れる.ここで
と表せる.するととなってしまい矛盾する.よって
であり,が開集合であることからが得られる.(証明終)
定理:T0な位相群GはHausdorff空間である.
証明:GがT1(1点集合が閉であることと同値)でありかつ正則であることがいえればよい.GがT1であるというには1点集合{e}が閉であることがいえればよい.
Gの元で単位元ではないものxを任意にとる.GはT0なので,
(1)eの開近傍Uでxを元に持たないものが存在するか,
(2)xの開近傍Vでeを元に持たないものが存在する.
仮に(2)が満たされたとするととなり(1)に帰着する.単位元とは異なるGの各点xに対して(1)のようなUを対応させ,それらのユニオンを考えることで一点集合{e}の閉なることがわかる.よってGはT1空間.
任意の単位元の開近傍Uに対してなる単位元の開近傍Vのとれることに注意しておく(なるものを取れば良い).
Gの閉集合Fとそれに属さない点xが与えられたとする.なので e は開集合の元.
よってeのある開近傍Vが存在してとなる.
となる.
よって閉集合Fと点xは,開集合によって分離される.
以上により位相群Gは1点集合が閉な正則空間となり,Hausdorff空間である.(証明終)
なんかちょっと2つ証明打っただけなのにめっちゃつかれた.ところどころ端折ったのでたぶん読みにくいです,ごめんなさい.